20120312Rhino座標變換

一、座標系統變換：
※角度(θ)使用徑度量(π)，最高非360而是3.14…。
2D
直角坐標系統P(x,y)
極座標系統相當於用長度及夾角表示位置。P(x, y)=P(r cosθ, rsinθ)
3D
圓柱座標系統
球座標系統：類似極座標系統，但變為三度空間的表示，故有兩個長度兩個角度。
→電腦運算會需要轉換(X,Y)與r,θ的關係

二、座標變動(Transformation)─平移：Translation
整個量體的平移是「量體上每一點皆加上一個”向量”」
→平移的”參考點”不重要，重要的是”向量值”
平移矩陣：Translation matrix
CAD軟體處理「平移」(移動指令)採用”平移矩陣”來進行”向量運算”
真正的平移是在矩陣最右邊的一排。
平移後座標為「平移矩陣」與「原座標矩陣」的”內積”。前者的「列」(橫向)要對映後者的「行」(直向)，才能運算。

三、座標變動─旋轉：Rotation
旋轉運算可分解為「平移→旋轉→平移」，會將要旋轉的東西移到參考點。
→旋轉的”參考點”會完全影響結果。
※下方狀態列X, Y, Z,θ(為360度)
旋轉矩陣：Rotation matrix
CAD軟體處理「旋轉」採用”旋轉矩陣”來進行”向量運算”。
二維座標其旋轉矩陣為R(θ)，將原座標與R(θ)內積則為新座標。
三維座標的旋轉非常複雜，故電腦會將之分為X座標旋轉多少、Y旋轉量、Z旋轉量。故會有”三個旋轉矩陣”：Rx(θ),Ry(θ),Rz(θ)

四、座標變動─鏡射：Reflection
以某一軸做對映，故有一軸向上的座標是不變的。若旋轉軸為在XYZ軸上，則「改動座標系統至新位置」(平移、旋轉)，再做上列運算。
鏡射可是一種旋轉。故「鏡射矩陣」與「旋轉矩陣」非常相像。

五、座標變換的應用─拼貼(對稱構成)Tilling/Tessellation
伊斯蘭教的發揚─”數學呈現”的才是完美而永恆的事物。